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First Missing Positive

题目

题目链接：

Given an unsorted integer array, find the smallest missing positive integer.

Example 1:

Input: [1,2,0]Output: 3

Example 2:

Input: [3,4,-1,1]Output: 2

Example 3:

Input: [7,8,9,11,12]Output: 1

Note:

Your algorithm should run in $O(n)$ time and uses constant extra space.

分析

给出一个无序的int类型数组，要求出其缺失的最小正整数。要求时间复杂度为$O(n)$。并且需要的额外空间只能是常量大小。

如果没有后面的要求，这道题还是很简单的，但是有了后面时间复杂度和空间复杂度的要求，难度就变为hard了。

不符合要求的解法：

• 使用普通的排序，然后从头到尾遍历即可。此时时间复杂度为$O(n\ast logn)$。
• 由于是int类型，我们可以使用桶排序的方式，虽然此时时间复杂度为$O(n)$，但额外空间过大。

正确的解法：

在常量大小的额外空间时，排序算法的时间复杂度最小为$O(n\ast logn)$，因此，不能使用排序算法。 要达到时间复杂度为$O(n)$的要求，这意味着我们只能对该数组进行少量次数的遍历。

注意到题目要求的是找出缺失的最小正整数。假如没有重复的数，并且数组已经排好序了。如果没有缺失的数，那么第i个元素的值应该是i + 1（因为0不属于正整数）；那么最小缺失的正整数，应该是第一个nums[i]不等于i + 1本来应该的值，即i + 1。如果没有缺失，那么就是nums.length + 1。

因此，我们只需要遍历数组，将每个元素的值放置到正确的位置。然后再遍历一次，找出第一个不符合要求的位置即可。

那么，对于不符合要求的数应该放置再哪里呢？注意到一个事实，如果第i个元素不符合要求，那么之后的元素如何放置都没有关系（因为我们找的是第一个不符合要求的）。

所以我们可以从右到左遍历整个数组，对于第j个元素

• 如果当前元素的值小于等于0（要的是正整数）或者是当前元素的值大于j + 1，则说明当前元素不符合要求，继续向左遍历（j--）。
• 如果当前元素的值等于j + 1，说明该位置放对了，不需要改变，也是继续向左遍历。
• 如果当前元素的值temp大于0并且小于j + 1。那么他应该被放置到nums[temp - 1]的位置，然后将当前元素的值置为nums[temp - 1]原本的值。如果考虑到有重复的元素，即nums[temp - 1]原来的值为temp（已经正确放置），此时也不需要改变当前元素的值，继续向左遍历即可。
• 遍历完成后，重新遍历一遍，找出第一个nums[j] != j + 1的位置，然后返回j + 1即可。如果都符合，返回nums.length + 1。

对于这种解法，总共需要遍历两遍，在第一次遍历的时候，有可能对于某个位置j，需要替换前面所有的元素（替换j - 1次，最差情况，这时总共需要遍历3遍，但时间复杂度也是$O(n)$）。时间复杂度为$O(n)$。替换时均在原来的数组上进行，空间复杂度为$O(1)$。符合题目要求。

代码如下

class Solution {
       public int firstMissingPositive(int[] nums) {
       	int temp = 0;    	int j = nums.length - 1;    	while (j >= 0) {
       		temp = nums[j];    		// 如果没有缺失，第 j 个位置的值应该是 j + 1			if (temp <= 0 || temp >= j + 1) {
     // 该位置的值符合要求或者是超出范围				j--;			} else if (nums[temp - 1] == temp) {
     // 有重复元素				j--;			} else {
     // 将 nums[j] 放到正确的位置				nums[j] = nums[temp - 1];				nums[temp - 1] = temp;			}					}		// 寻找不符合要求的位置		for (j = 0; j < nums.length; j++) {
   			if (nums[j] != j + 1) {
   				return j + 1;			}		}		return j + 1;    }}

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